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Der `!Grad`! eines `F33f`_`[Polynoms`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Polynom]`_`f in einer Variablen ist in der `F33f`_`[Mathematik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mathematik]`_`f der größte Exponent in dessen Standarddarstellung als Summe von `F33f`_`[Monomen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Monom]`_`f. Beispielsweise ist der Grad des Polynom 2 X 5 − − X 3 + 7 X 2 {\\displaystyle 2X^{5}-X^{3}+7X^{2}} gleich 5, nämlich der Exponent des Monoms 2 X 5 {\\displaystyle 2X^{5}} . Bei Polynomen in mehreren Variablen ist der Grad eines Monoms definiert als die Summe der Exponenten der enthaltenen Variablenpotenzen und der Grad eines Polynoms (auch `!Totalgrad`! genannt) als das `F33f`_`[Maximum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Größtes_Element]`_`f der Grade der Monome, aus denen das Polynom besteht. So haben zum Beispiel das Monom X 2 Y 3 Z {\\displaystyle X^{2}Y^{3}Z} und damit auch das Polynom − − 3 X 2 Y 3 Z + 7 X 4 Y + X Y Z 2 {\\displaystyle -3X^{2}Y^{3}Z+7X^{4}Y+XYZ^{2}} den Grad 6.`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f]

>>Contents

• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f

• `F0af`_`[Eigenschaften`#eigenschaften]`_`f

• `F0af`_`[Beispiele`#beispiele]`_`f

• `F0af`_`[Siehe auch`#siehe-auch]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

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>>Definition

Sei R {\\displaystyle R} ein `F33f`_`[kommutativer Ring`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kommutativer_Ring]`_`f, n > 0 {\\displaystyle n>0} eine `F33f`_`[natürliche Zahl`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Natürliche_Zahl]`_`f und R [ X 1 , … … , X n ] {\\displaystyle R[X_{1},\\dots ,X_{n}]} der `F33f`_`[Polynomring`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Polynomring]`_`f in den Variablen X 1 , … … , X n {\\displaystyle X_{1},\\dots ,X_{n}} . Ist

0 ≠ ≠ m := X 1 e 1 X 2 e 2 ⋯ ⋯ X n e n ∈ ∈ R [ X 1 , … … , X n ] {\\displaystyle 0\\neq m:=X_{1}^{e_{1}}X_{2}^{e_{2}}\\cdots X_{n}^{e_{n}}\\in R[X_{1},\\dots ,X_{n}]}

ein `F33f`_`[Monom`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Monom]`_`f mit e 1 , … … , e n ∈ ∈ N ∪ ∪ { 0 } {\\displaystyle e_{1},\\dots ,e_{n}\\in \\mathbb {N} \\cup \\{0\\}} , so ist der Grad von m {\\displaystyle m} definiert als

deg ⁡ ⁡ ( m ) := e 1 + … … + e n {\\displaystyle \\deg(m):=e_{1}+\\ldots +e_{n}} .

Sei nun

0 ≠ ≠ f = a 1 m 1 + … … + a r m r ∈ ∈ R [ X 1 , … … , X n ] {\\displaystyle 0\\neq f=a_{1}m_{1}+\\ldots +a_{r}m_{r}\\in R[X_{1},\\dots ,X_{n}]}

ein Polynom mit r ∈ ∈ N {\\displaystyle r\\in \\mathbb {N} } , a 1 , … … , a r ∈ ∈ R ∖ ∖ { 0 } {\\displaystyle a_{1},\\dots ,a_{r}\\in R\\setminus \\{0\\}} und Monomen m 1 , … … , m r {\\displaystyle m_{1},\\dots ,m_{r}} . Dann ist der Grad oder Totalgrad von f {\\displaystyle f} definiert als

deg ⁡ ⁡ ( f ) := max j = 1 , … … , r deg ⁡ ⁡ ( m j ) {\\displaystyle \\deg(f):=\\max _{j=1,\\dots ,r}\\deg(m_{j})} .

Es gibt verschiedene Konventionen zur Definition des Grades von 0 {\\displaystyle 0} . In der `F33f`_`[Algebra`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Algebra]`_`f ist es üblich, deg ⁡ ⁡ ( 0 ) := − − ∞ ∞ {\\displaystyle \\deg(0):=-\\infty } zu setzen. Dagegen wird in den Bereichen der Mathematik, die sich mit der Lösung von algebraischen Problemen mit Hilfe von Computern befassen, häufig die Definition deg ⁡ ⁡ ( 0 ) := − − 1 {\\displaystyle \\deg(0):=-1} bevorzugt.

Bemerkung: Da Monome nur aus endlich vielen Faktoren bestehen, lässt sich die Definition des Grads eines Monoms und somit auch die Definition des Grads eines Polynoms direkt auf Polynomringe in beliebig vielen Variablen erweitern.

>>Eigenschaften

Seien f , g ∈ ∈ R [ X 1 , … … , X n ] {\\displaystyle f,g\\in R[X_{1},\\dots ,X_{n}]} Polynome über R {\\displaystyle R} . Dann gilt

• deg ⁡ ⁡ ( f g ) ≤ ≤ deg ⁡ ⁡ ( f ) + deg ⁡ ⁡ ( g ) {\\displaystyle \\deg(fg)\\leq \\deg(f)+\\deg(g)} und

• deg ⁡ ⁡ ( f + g ) ≤ ≤ max ( deg ⁡ ⁡ ( f ) , deg ⁡ ⁡ ( g ) ) {\\displaystyle \\deg(f+g)\\leq \\max(\\deg(f),\\deg(g))} .

Für den Fall deg ⁡ ⁡ ( f ) ≠ ≠ deg ⁡ ⁡ ( g ) {\\displaystyle \\deg(f)\\neq \\deg(g)} erhält man sogar deg ⁡ ⁡ ( f + g ) = max ( deg ⁡ ⁡ ( f ) , deg ⁡ ⁡ ( g ) ) {\\displaystyle \\deg(f+g)=\\max(\\deg(f),\\deg(g))} .

Ist R {\\displaystyle R} ein `F33f`_`[Integritätsring`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Integritätsring]`_`f, so gilt sogar

deg ⁡ ⁡ ( f g ) = deg ⁡ ⁡ ( f ) + deg ⁡ ⁡ ( g ) {\\displaystyle \\deg(fg)=\\deg(f)+\\deg(g)}

für alle f , g ∈ ∈ R [ X i | i ∈ ∈ I ] {\\displaystyle f,g\\in R[X_{i}\\;|\\;i\\in I]} .

>>Beispiele

Betrachte Polynome in Z [ X , Y , Z ] {\\displaystyle \\mathbb {Z} [X,Y,Z]} (siehe `F33f`_`[ganze Zahlen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ganze_Zahlen]`_`f). Es gilt

• deg ⁡ ⁡ ( X 5 ) = 5 {\\displaystyle \\deg(X^{5})=5} ,

• deg ⁡ ⁡ ( X 2 Y 3 Z 4 ) = 2 + 3 + 4 = 9 {\\displaystyle \\deg(X^{2}Y^{3}Z^{4})=2+3+4=9} ,

• deg ⁡ ⁡ ( X 7 Z 2 + 3 X 3 Y 3 − − X Y 4 Z + 5 Y Z ) = deg ⁡ ⁡ ( X 7 Z 2 ) = 9 {\\displaystyle \\deg(X^{7}Z^{2}+3X^{3}Y^{3}-XY^{4}Z+5YZ)=\\deg(X^{7}Z^{2})=9} und

• deg ⁡ ⁡ ( 3 X 4 Y 4 − − X 2 Y 3 Z 3 + 3 Y 4 Z ) = deg ⁡ ⁡ ( X 4 Y 4 ) = deg ⁡ ⁡ ( X 2 Y 3 Z 3 ) = 8 {\\displaystyle \\deg(3X^{4}Y^{4}-X^{2}Y^{3}Z^{3}+3Y^{4}Z)=\\deg(X^{4}Y^{4})=\\deg(X^{2}Y^{3}Z^{3})=8} .

>>Siehe auch

• `F33f`_`[Graduierung (Algebra)`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Graduierung_(Algebra)]`_`f

• `F33f`_`[Bewertungstheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bewertungstheorie]`_`f

>>Einzelnachweise

`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f Spektrum.de

`c`F0af`_`[↑ Back to top`#top]`_`f`a